BM de RDTA cambio de expresión de Conversión a Concentración

 

Relación entre conversión y concentración

Cuando trabajas en términos de conversión, el balance de materia para un reactor de tanque agitado (RDTA) o cualquier otro reactor puede expresarse como:

$$t_R = N_{A0} \int_{0}^{X_A} \frac{dX_A}{-r_A V}$$

Aquí, $X_{\mathrm{A\; es\; la\; conversión\; y }}$$r_A$ es la velocidad de reacción.

Cambiando de conversión a concentración

La conversión $X_A$ y la concentración $C_A$ están relacionadas por:

$$X_A = \frac{C_{A0} - C_A}{C_{A0}}$$

Donde $C_{A0}$ es la concentración inicial de $A$ y $C_A$ es la concentración en cualquier momento.

Cuando integras en términos de concentración, necesitas tener en cuenta cómo cambia $X_A$ con respecto a $C_A$. Derivando la ecuación de conversión con respecto a la concentración $C_A$, obtienes:

$$dX_A = -\frac{dC_A}{C_{A0}}$$

Este signo negativo aparece porque $X_A$ aumenta (va de 0 a 1) a medida que la concentración $C_A$ disminuye (va de $C_{A0}$ a una concentración menor). Por lo tanto, al cambiar de una variable creciente como $X_A$ a una variable decreciente como $C_A$, se introduce un signo negativo en la relación diferencial.

Aplicando el cambio

Al cambiar la integral de conversión a concentración, la ecuación se transforma a:

$$t_R = N_{A0} \int_{C_{A0}}^{C_A} \frac{dC_A}{-r_A V}$$

Aquí aparece el signo negativo frente a la integral porque, como mencionamos, $dX_A = -\frac{dC_A}{C_{A0}}$. El negativo asegura que la integral se evalúe correctamente a medida que $C_A$ disminuye (de $C_{A0}$ a $C_A$).

Conclusión

El signo negativo aparece naturalmente cuando haces la transformación de la variable conversión ($X_A$) a concentración ($C_A$), debido a la relación inversa entre ambas. $X_A$ aumenta a medida que $C_A$ disminuye, lo que introduce un signo negativo en el diferencial correspondiente.