Ecuación de Monod y efectos de la inhibición

La ecuación de Monod generalizada describe la velocidad específica de crecimiento microbiano ($\mu$), considerando no solo el sustrato limitante ($S$), sino también efectos inhibidores (por sustrato, producto u otros compuestos). Su forma más completa es:

$$\mu =\frac{{\mu }_m\cdot S}{K_s{(1-\frac{C_k}{C_k^{\ast }})}^m+S}{(1-\frac{C_i}{C_i^{\ast }})}^n$$

Términos y su significado:

1. $\mu$: Velocidad específica de crecimiento [h⁻¹].

2. ${\mu }_m$: Velocidad máxima de crecimiento (en condiciones ideales sin inhibición) [h⁻¹].

3. $S$: Concentración del sustrato limitante [g/L o mg/L].

4. $K_s$: Constante de saturación (concentración de $S$ a la que $\mu ={\mu }_m\mathrm{/}2$) [g/L].

5. $C_k$: Concentración de un inhibidor crítico (ej: etanol, ácido láctico) [g/L].

6. $C_k^{\ast }$: Concentración crítica del inhibidor $C_k$ que detiene completamente el crecimiento ($\mu =0$) [g/L].

7. $m$: Exponente que ajusta la sensibilidad al inhibidor $C_k$ (adimensional).

8. $C_i$: Concentración de otro inhibidor adicional (ej: pH, temperatura) [unidades variables].

9. $C_i^{\ast }$: Concentración crítica de $C_i$ para inhibición total [unidades variables].

10. $n$: Exponente para el inhibidor $C_i$ (adimensional).

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Ecuaciones de Inhibición Específicas

1. Inhibición por sustrato (Haldane)

Ocurre cuando el sustrato mismo (a altas concentraciones) inhibe el crecimiento. Ejemplo: fenol en bacterias.

$$\mu =\frac{{\mu }_m\cdot S}{K_s+S+\frac{S^2}{K_{is}}}$$

• $K_{is}$: Constante de inhibición por sustrato [g/L].

• Interpretación: El término $\frac{S^2}{K_{is}}$ domina a altas concentraciones de $S$, reduciendo $\mu$.

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2. Inhibición por sustrato y microorganismos (Contois)

Describe cómo la alta densidad celular ($X$) puede limitar el acceso al sustrato.

$$\mu =\frac{{\mu }_m\cdot S}{B\cdot X+S}$$

• $B$: Parámetro empírico que relaciona la inhibición por biomasa [adimensional].

• Aplicación: Común en cultivos densos (ej: fermentaciones en alta concentración de células).

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3. Inhibición por sustrato y producto (Levenspiel)

Modela la inhibición por productos metabólicos (ej: etanol en levaduras).

$$\mu =\frac{{\mu }_m\cdot S}{K_s+S}{(1-\frac{P}{P^{\ast }})}^n$$

• $P$: Concentración del producto inhibidor [g/L].

• $P^{\ast }$: Concentración crítica del producto que detiene el crecimiento [g/L].

• $n$: Exponente que refleja la toxicidad del producto (ej: $n=1$ para inhibición lineal).

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Comparación Visual

Tipo de Inhibición	Ecuación	Ejemplo de Aplicación
Haldane (sustrato)	$\mu =\frac{{\mu }_{m}S}{K_s+S+\frac{S^2}{K_{is}}}$	Cultivos con sustratos tóxicos (fenol).
Contois (biomasa)	$\mu =\frac{{\mu }_{m}S}{BX+S}$	Fermentaciones con alta densidad celular.
Levenspiel (producto)	$\mu =\frac{{\mu }_{m}S}{K_s+S}{(1-\frac{P}{P^{\ast }})}^n$	Producción de etanol o antibióticos.

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Clave para recordar:

• La ecuación de Monod estándar ($\mu =\frac{{\mu }_{m}S}{K_s+S}$) solo considera el sustrato.

• Las modificaciones (Haldane, Contois, Levenspiel) añaden términos para modelar inhibiciones realistas en biorreactores.